5.6 MATEMATIIKKA

Matematiikan asema aikamme kulttuurissa edellyttää valmiutta ymmärtää, hyödyntää ja tuottaa matemaattisesti esitettyä tietoa. Matematiikan opetuksen tehtävänä on tutustuttaa opiskelija matemaattisen ajattelun malleihin sekä matematiikan perusideoihin ja rakenteisiin, opettaa käyttämään puhuttua ja kirjoitettua matematiikan kieltä sekä kehittää laskemisen ja ongelmien ratkaisemisen taitoja. Näitä valmiuksia nykypäivän ihminen tarvitsee niin jokapäiväisessä elämässä kuin jatko-opinnoissakin.

Matematiikan opetustilanteet järjestetään siten, että ne herättävät opiskelijan tekemään havaintojensa pohjalta kysymyksiä, oletuksia ja päätelmiä sekä perustelemaan niitä. Erityisesti opiskelijaa ohjataan hahmottamaan matemaattisten käsitteiden merkityksiä ja tunnistamaan, kuinka ne liittyvät laajempiin kokonaisuuksiin sekä ohjataan havainnoimaan matematiikan kumulatiivinen luonne.

Opiskelijaa myös kannustetaan kehittämään luovia ratkaisuja matemaattisiin ongelmiin. Opetuksessa tutkitaan matematiikan ja arkielämän välisiä yhteyksiä sekä tietoisesti käytetään eteen tulevia mahdollisuuksia opiskelijan persoonallisuuden kehittämiseen, mikä tarkoittaa muun muassa hänen kiinnostuksensa ohjaamista, kokeiluihin kannustamista sekä tiedonhankintaprosessien kehittämistä.

Resurssien salliessa voidaan järjestää soveltavia kursseja, jotka esimerkiksi yhdistävät eri matematiikan osa-alueita (geometria-integraalilaskenta), erilaisia kertaavia kursseja oppilaiden harrastuneisuuden mukaan.

ARVIOINTI

Matematiikan opetuksessa arvioinnin tulee kehittää opiskelijan kykyä esittää ratkaisuja, tukea opiskelijaa matemaattisten käsitteiden muodostamisprosessissa ja arvioida kirjallista esitystä sekä opettaa opiskelijalle oman työnsä arvioimista. Osaamisen arvioinnissa kiinnitetään huomio laskutaitoon, menetelmien valintaan ja päätelmien täsmälliseen ja johdonmukaiseen perustelemiseen. Pakolliset ja opetussuunnitelmassa määritellyt valtakunnalliset syventävät kurssit arvostellaan kuten opetussuunnitelman perusteissa on määrätty numeroarvosanalla. Soveltavien kurssien osalta huomio kiinnitetään harrastuneisuuteen sekä arvioidaan suoritettu/hylätty -merkinnällä.

Oppimäärän vaihtaminen

Matematiikan oppimäärää vaihdettaessa pitkästä lyhyeen voidaan lukea hyväksi seuraavia vastaavuuksia: MAA1 MAB1, MAA3 MAB2, MAA6 MAB5, MAA7

MAB4 ja MAA8 MAB3.

Ne pitkän oppimäärän kurssit, joita opiskelija ei lue lyhyen oppimäärän kursseihin, siirtyvät lyhyen oppimäärän soveltaviksi kursseiksi, jotka arvioidaan suoritettu/hylätty -merkinnällä. Mikäli opiskelija vaihtaa lyhyestä pitkään oppimäärään, on suoritettava vastaavuuskurssien kokeet ja mahdollisesti suoritettava kurssiin kuuluvia lisätehtäviä, jonka jälkeen kurssi arvioidaan uudelleen.

Matematiikan pitkä oppimäärä

Matematiikan pitkän oppimäärän opetuksen tehtävänä on antaa opiskelijalle matemaattiset valmiudet, joita tarvitaan ammatillisissa opinnoissa ja korkeakouluopinnoissa. Pitkän matematiikan opinnoissa opiskelijalla on tilaisuus omaksua matemaattisia käsitteitä ja menetelmiä sekä oppia ymmärtämään matemaattisen tiedon luonnetta. Opetus pyrkii myös antamaan opiskelijalle selkeän käsityksen matematiikan merkityksestä yhteiskunnan kehityksessä sekä sen soveltamismahdollisuuksista arkielämässä, tieteessä ja tekniikassa.

Lukio toimii paikkakunnalla, jolla ei järjestetä muuta yliopistoon tai korkeakouluun valmentavaa opetusta, joten myös pienen ja aktiivisen matemaatikkoryhmän valmentaminen jatko-opintoihin on varmistettava.

Opetuksen tavoitteet

Matematiikan pitkän oppimäärän opetuksen tavoitteena on, että opiskelija tottuu pitkäjänteiseen työskentelyyn ja oppii sitä kautta luottamaan omiin matemaattisiin kykyihinsä, taitoihinsa ja ajatteluunsa samalla hän rohkaistuu kokeilevaan ja tutkivaan toimintaan, ratkaisujen keksimiseen sekä niiden kriittiseen arviointiin.

Opiskelija ymmärtää ja osaa käyttää matematiikan kieltä, kuten seuraamaan matemaattisen tiedon esittämistä, lukemaan matemaattista tekstiä, keskustelemaan matematiikasta, ja oppii arvostamaan esityksen täsmällisyyttä ja perustelujen selkeyttä sekä oppii näkemään matemaattisen tiedon loogisena rakenteena, jota nykyajan teknologia vaatii kestävän kehityksen toteutuessa. Opiskelija kehittää lausekkeiden käsittely-, päättely- ja ongelmanratkaisutaitojaan sekä harjaantuu käsittelemään tietoa matematiikalle ominaisella tavalla, tottuu tekemään otaksumia, tutkimaan niiden oikeellisuutta ja laatimaan perusteluja sekä arvioimaan perustelujen pätevyyttä ja tulosten yleistettävyyttä.

Opiskelija harjaantuu mallintamaan käytännön ongelmatilanteita ja hyödyntämään erilaisia ratkaisustrategioita sekä osaa käyttää tarkoituksenmukaisia matemaattisia menetelmiä, teknisiä apuvälineitä ja tietolähteitä. Opiskelija oppii loogisesti ajatellessaan harkitsemaan mahdollisimman edullisia toimintatapoja, joita hän voi myöhemmin elämässään soveltaa jopa yritysmaailmassa.

PAKOLLISET KURSSIT

Kurssi 1: Funktiot ja yhtälöt (MAA1)

TAVOITTEET

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

•  vahvistaa yhtälön ratkaisemisen ja prosenttilaskennan taitojaan
•  syventää verrannollisuuden, neliöjuuren ja potenssin käsitteiden ymmärtämistään
•  tottuu käyttämään neliöjuuren ja potenssin laskusääntöjä
•  syventää funktiokäsitteen ymmärtämistään tutkimalla potenssi- ja eksponenttifunktioita
•  oppii ratkaisemaan potenssiyhtälöitä

KESKEISET SISÄLLÖT

•  potenssifunktio
•  potenssiyhtälön ratkaiseminen
•  juuret ja murtopotenssi
•  eksponenttifunktio

Kurssi 2: Polynomifunktiot (MAA2)

TAVOITTEET

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

•  harjaantuu käsittelemään polynomifunktioita
•  oppii ratkaisemaan toisen asteen polynomiyhtälöitä ja tutkimaan ratkaisujen lukumäärää
•  oppii ratkaisemaan korkeamman asteen polynomiyhtälöitä, jotka voidaan ratkaista ilman
• polynomien jakolaskua
•  oppii ratkaisemaan yksinkertaisia polynomiepäyhtälöitä.

KESKEISET SISÄLLÖT

•  polynomien tulo ja binomikaavat
•  polynomifunktio
•  toisen ja korkeamman asteen polynomiyhtälöitä
•  toisen asteen yhtälön juurten lukumäärän tutkiminen
•  toisen asteen polynomin jakaminen tekijöihin
•  polynomiepäyhtälön ratkaiseminen

Kurssi 3: Geometria (MAA3)

TAVOITTEET

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

•  harjaantuu hahmottamaan ja kuvaamaan tilaa sekä muotoa koskevaa tietoa sekä kaksi-
• että kolmiulotteisissa tilanteissa
•  harjaantuu muotoilemaan, perustelemaan ja käyttämään geometrista tietoa käsitteleviä lauseita
•  ratkaisee geometrisia ongelmia käyttäen hyväksi kuvioiden ja kappaleiden ominaisuuksia,
• yhdenmuotoisuutta, Pythagoraan lausetta sekä suora- ja vinokulmaisen kolmion trigonometriaa.

KESKEISET SISÄLLÖT

•  kuvioiden ja kappaleiden yhdenmuotoisuus
•  sini- ja kosinilause
•  ympyrän, sen osien ja siihen liittyvien suorien geometria
•  kuvioihin ja kappaleisiin liittyvien pituuksien, kulmien, pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen

Kurssi 4: Analyyttinen geometria (MAA4)

TAVOITTEET

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• ymmärtää kuinka analyyttinen geometria luo yhteyksiä geometristen ja algebrallisten käsitteiden välille
• ymmärtää pistejoukon yhtälön käsitteen ja oppii tutkimaan yhtälöiden avulla pisteitä, suoria, ympyröitä ja paraabeleja
• syventää itseisarvokäsitteen ymmärtämystään ja oppii ratkaisemaan sellaisia itseisarvo- yhtälöitä ja vastaavia epäyhtälöitä, jotka ovat tyyppiä | f(x) | = a tai | f(x) | = | g(x) |
• vahvistaa yhtälöryhmän ratkaisemisen taitojaan.

KESKEISET SISÄLLÖT

• pistejoukon yhtälö
• suoran, ympyrän ja paraabelin yhtälöt
• itseisarvoyhtälön ja epäyhtälön ratkaiseminen
• yhtälöryhmän ratkaiseminen
• pisteen etäisyys suorasta

Kurssi 5: Vektorit (MAA5)

TAVOITTEET

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• ymmärtää vektorikäsitteen ja perehtyy vektorilaskennan perusteisiin
• oppii tutkimaan kuvioiden ominaisuuksia vektoreiden avulla
• tutkii kaksi- ja kolmiulotteisen koordinaatiston pisteitä, etäisyyksiä ja kulmia vektoreiden avulla.

KESKEISET SISÄLLÖT

• vektoreiden perusominaisuudet
• vektoreiden yhteen- ja vähennyslasku ja vektorin kertominen luvulla
• koordinaatiston vektoreiden skalaaritulo
• suorat ja tasot avaruudessa

Kurssi 6. Todennäköisyys ja tilastot (MAA6)

TAVOITTEET

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

 

• oppii havainnollistamaan diskreettejä ja jatkuvia tilastollisia jakaumia sekä määrittämään ja tulkitsemaan jakaumien tunnuslukuja
• perehtyy kombinatorisiin menetelmiin
• perehtyy todennäköisyyden käsitteeseen ja todennäköisyyksien laskusääntöihin
• ymmärtää diskreetin todennäköisyysjakauman käsitteen ja oppii määrittämään jakauman odotusarvon ja soveltamaan sitä
• perehtyy jatkuvan todennäköisyysjakauman käsitteeseen ja oppii soveltamaan normaalijakaumaa.

KESKEISET SISÄLLÖT

• diskreetti ja jatkuva tilastollinen jakauma
• jakauman tunnusluvut
• klassinen ja tilastollinen todennäköisyys
• kombinatoriikka
• todennäköisyyksien laskusäännöt
• diskreetti ja jatkuva todennäköisyysjakauma
• diskreetin jakauman odotusarvo
• normaalijakauma

Kurssi 7. Derivaatta (MAA7)

TAVOITTEET

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• osaa määrittää rationaalifunktion nollakohdat ja ratkaista yksinkertaisia rationaali- epäyhtälöitä
• omaksuu havainnollisen käsityksen funktion raja-arvosta, jatkuvuudesta ja derivaatasta
• määrittää yksinkertaisten funktioiden derivaatat
• osaa tutkia derivaatan avulla polynomifunktion kulkua ja määrittää sen ääriarvot
• osaa määrittää rationaalifunktion suurimman ja pienimmän arvon sovellusongelmien yhteydessä.

KESKEISET SISÄLLÖT

 

• rationaaliyhtälö ja -epäyhtälö
• funktion raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta
• polynomifunktion, funktioiden tulon ja osamäärän derivoiminen
• polynomifunktion kulun tutkiminen ja ääriarvojen määrittäminen

Kurssi 8. Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8)

TAVOITTEET

• Kurssin tavoitteena on, että opiskelija
• tuntee juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioiden ominaisuudet ja osaa ratkaista niihin liittyviä yhtälöitä
• tutkii juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioita derivaatan avulla
• oppii yhdistetyn funktion derivoimisen
• tutkii aidosti monotonisten funktioiden käänteisfunktioita.

KESKEISET SISÄLLÖT

• juurifunktiot ja -yhtälöt
• eksponenttifunktiot ja -yhtälöt
• logaritmifunktiot ja -yhtälöt
• yhdistetyn funktion derivaatta
• käänteisfunktio
• juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioiden derivaatat

Kurssi 9. Trigonometriset funktiot ja lukujonot (MAA9)

TAVOITTEET

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

 

• oppii tutkimaan trigonometrisia funktioita yksikköympyrän symmetrioiden avulla
• oppii ratkaisemaan sellaisia trigonometrisia yhtälöitä, jotka ovat tyyppiä sin f(x) = a tai sin f(x) = sin g(x)
• osaa trigonometristen funktioiden yhteydet sin2x + cos2x = 1 ja tan x = sin x / cos x
• tutkii trigonometrisia funktioita derivaatan avulla
• ymmärtää lukujonon käsitteen
• oppii määrittelemään lukujonoja palautuskaavojen avulla
• osaa ratkaista käytännön ongelmia aritmeettisen ja geometrisen jonon ja niistä muodostettujen summien avulla.

 

KESKEISET SISÄLLÖT

• suunnattu kulma ja radiaani
• trigonometriset funktiot symmetria- ja jaksollisuusominaisuuksineen
• trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen
• trigonometristen funktioiden derivaatat
• lukujono
• rekursiivinen lukujono
• aritmeettinen jono ja summa
• geometrinen jono ja summa

Kurssi 10. Integraalilaskenta (MAA10)

TAVOITTEET

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• ymmärtää integraalifunktion käsitteen ja oppii määrittämään alkeisfunktioiden integraalifunktioita
• ymmärtää määrätyn integraalin käsitteen ja sen yhteyden pinta-alaan
• oppii määrittämään pinta-aloja ja tilavuuksia määrätyn integraalin avulla
• perehtyy integraalilaskennan sovelluksiin.

KESKEISET SISÄLLÖT

• integraalifunktio
• alkeisfunktioiden integraalifunktiot
• määrätty integraali
• pinta-alan ja tilavuuden laskeminen

SYVENTÄVÄT KURSSIT

Kurssi 11. Lukuteoria ja logiikka (MAA11)

TAVOITTEET

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

 

• oppii formalisoimaan väitelauseita ja tutkimaan niiden totuusarvoja totuustaulujen avulla
• ymmärtää avoimen lauseen käsitteen ja oppii käyttämään kvanttoreita
• oppii todistusperiaatteita ja harjoittelee todistamista
• oppii lukuteorian peruskäsitteet ja perehtyy alkulukujen ominaisuuksiin
• osaa tutkia kokonaislukujen jaollisuutta jakoyhtälön ja kokonaislukujen kongruenssin avulla
• osaa määrittää kokonaislukujen suurimman yhteisen tekijän Eukleideen algoritmilla.

 

KESKEISET SISÄLLÖT

• lauseen formalisoiminen
• lauseen totuusarvot
• avoin lause
• kvanttorit
• suora, käänteinen ja ristiriitatodistus
• kokonaislukujen jaollisuus ja jakoyhtälö
• Eukleideen algoritmi
• alkuluvut
• aritmetiikan peruslause
• kokonaislukujen kongruenssi

Kurssi 12. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä (MAA12)

TAVOITTEET

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• oppii ymmärtämään absoluuttisen ja suhteellisen virheen käsitteet ja niiden avulla likiarvolaskujen tarkkuutta koskevat säännöt peruslaskutoimitusten tapauksessa
• ymmärtää iteroinnin käsitteen ja oppii ratkaisemaan yhtälöitä numeerisesti
• oppii tutkimaan polynomien jaollisuutta ja määrittämään polynomin tekijät
• oppii algoritmista ajattelua
• harjaantuu käyttämään nykyaikaisia matemaattisia välineitä
• oppii määrittämään numeerisesti muutosnopeutta ja pinta-alaa.

KESKEISET SISÄLLÖT

• absoluuttinen ja suhteellinen virhe
• Newtonin menetelmä ja iterointi
• polynomien jakoalgoritmi
• polynomien jakoyhtälö
• muutosnopeus ja pinta-ala

Kurssi 13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi (MAA13)

TAVOITTEET

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• syventää differentiaali- ja integraalilaskennan teoreettisten perusteiden tuntemustaan
• täydentää integraalilaskennan taitojaan ja soveltaa niitä muun muassa jatkuvien toden- näköisyysjakaumien tutkimiseen
• tutkii lukujonon raja-arvoa, sarjoja ja niiden summia.

KESKEISET SISÄLLÖT

• funktion jatkuvuuden ja derivoituvuuden tutkiminen
• jatkuvien ja derivoituvien funktioiden yleisiä ominaisuuksia
• funktioiden ja lukujonojen raja-arvot äärettömyydessä
• epäoleelliset integraalit

SOVELTAVAT KURSSIT

Kurssi 14. Lukion orientoiva kurssi (MAA14)

 TAVOITTEET

 Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

 

• saa myönteisiä oppimiskokemuksia matematiikan parissa työskennellessään
• hankkii sellaisia matemaattisia taitoja ja valmiuksia, jotka antavat mahdollisuuden opiskella pitkää matematiikkaa
• Kurssin tavoitteena on niveltää peruskoulun ja lukion pitkän oppimäärän oppisisältöjä.

 

 KESKEISET SISÄLLÖT

 

• peruslaskutoimitukset
• rationaaliluvut ja –lausekkeet
• prosenttilaskentaa
• muistisäännöt – binomin neliö ja summan ja erotuksen tulo
• asiat, jotka ovat senhetkisen ryhmän kohdalla ajankohtaisia

Kurssi 15. Differentiaalilaskennan kertauskurssi

TAVOITTEET

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• kertaa ja vahvistaa differentiaali- ja integraalilaskennan menetelmiä
• osaa soveltaa niitä käytännön ongelmiin

KESKEISET SISÄLLÖT

• alkeisfunktioiden derivointi
• transkendenttifunktioiden derivointi
• funktion kulun tutkiminen derivaatan avulla
• ääriarvotehtävät

Kurssi 16. Ylioppilastutkintoon valmentava kurssi (Maa16)

TAVOITTEET

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• kertaa pakollisten kurssien oppisisältöjä
• oppii yhdistelemään eri kurssien asiatietoja ja huomaa, että tehtäviä voi ratkaista usealla eri tavalla
• löytää pitkän matematiikan ”punaisen langan”

KESKEISET SISÄLLÖT

• pääosiltaan kaikki pakollisten kurssien keskeiset sisällöt